江蘇省高考數學考試試題
2010年江蘇高考數學試題
一、填空題
1、設集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},則實數a=______▲________
2、設復數z滿足z(2-3i)=6+4i(其中i為虛數單位),則z的模為______▲________
3、盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若從中隨機地摸出兩只球,兩只球顏色不同的概率是_▲__
4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質量,從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標),所得數據都在區間[5,40]中,其頻率分布直方圖如圖所示,則其抽樣的100根中,有_▲___根在棉花纖維的長度小于20mm。
5、設函數f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函數,則實數a=_______▲_________
6、在平面直角坐標系xOy中,雙曲線 上一點M,點M的橫坐標是3,則M到雙曲線右焦點的距離是___▲_______
7、右圖是一個算法的流程圖,則輸出S的值是______▲_______
8、函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數,a1=16,則a1+a3+a5=____▲_____
9、在平面直角坐標系xOy中,已知圓 上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數c的取值范圍是______▲_____
10、定義在區間 上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P,過點P作PP1⊥x軸于點P1,直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為_______▲_____
11、已知函數 ,則滿足不等式
的x的范圍是____▲____
12、設實數x,y滿足3≤ ≤8,4≤
≤9,則
的最大值是_____▲____
13、在銳角三角形ABC,A、B、C的對邊分別為a、b、c, ,則
__▲
14、將邊長為1的正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記S= ,則S的最小值是_______▲_______
二、解答題
15、(14分)在平面直角坐標系xOy中,點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長
(2)設實數t滿足( )•
=0,求t的值
16、(14分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900
(1)求證:PC⊥BC
(2)求點A到平面PBC的距離
17、(14分)某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m),如示意圖,垂直放置的標桿BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β
(1)該小組已經測得一組α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據此算出H的值
(2)該小組分析若干測得的數據后,發現適當調整標桿到電視塔的距離d(單位m),使α與β之差較大,可以提高測量精確度,若電視塔實際高度為125m,問d為多少時,α-β最大
18.(16分)在平面直角坐標系 中,如圖,已知橢圓 的左右頂點為A,B,右頂點為F,設過點T(
)的直線TA,TB與橢圓分別交于點M
,
,其中m>0,
①設動點P滿足 ,求點P的軌跡
②設 ,求點T的坐標
③設t=9 ,求證:直線MN必過x軸上的一定點
(其坐標與m無關)
19.(16分)設各項均為正數的數列 的前n項和為 ,已知
,數列
是公差為d 的等差數列.
①求數列 的通項公式(用 表示)
②設 為實數,對滿足 的任意正整數 ,不等式 都成立。求證: 的最大值為
20.(16分)設 使定義在區間 上的函數,其導函數為 .如果存在實數 和函數 ,其中 對任意的 都有 >0,使得 ,則稱函數 具有性質 .
(1)設函數 ,其中 為實數
①求證:函數 具有性質
②求函數 的單調區間
(2)已知函數 具有性質 ,給定 , ,且 ,若| |<| |,求 的取值范圍
【理科附加題】
21(從以下四個題中任選兩個作答,每題10分)
(1)幾何證明選講
AB是⊙O的直徑,D為⊙O上一點,過點D作⊙O的切線交AB延長線于C,若DA=DC,求證AB=2BC
(2)矩陣與變換
在平面直角坐標系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設k≠0,k∈R,M= ,N= ,點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍,求實數k的值
(3)參數方程與極坐標
在極坐標系中,圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求實數a的值
(4)不等式證明選講
已知實數a,b≥0,求證:
22、(10分)某廠生產甲、乙兩種產品,生產甲產品一等品80%,二等品20%;生產乙產品,一等品90%,二等品10%。生產一件甲產品,如果是一等品可獲利4萬元,若是二等品則要虧損1萬元;生產一件乙產品,如果是一等品可獲利6萬元,若是二等品則要虧損2萬元。設生產各種產品相互獨立
(1)記x(單位:萬元)為生產1件甲產品和件乙產品可獲得的總利潤,求x的分布列
(2)求生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率
23、(10分)已知△ABC的三邊長為有理數
(1)求證cosA是有理數
(2)對任意正整數n,求證cosnA也是有理數
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