2010年江蘇高考數學試題

一、填空題
1、設集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實數a=______▲________
2、設復數z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數單位），則z的模為______▲________
3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_▲__
4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數據都在區間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_▲___根在棉花纖維的長度小于20mm。
5、設函數f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函數，則實數a=_______▲_________

 
6、在平面直角坐標系xOy中，雙曲線 上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是___▲_______
7、右圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是______▲_______

8、函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數，a1=16，則a1+a3+a5=____▲_____
9、在平面直角坐標系xOy中，已知圓 上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是______▲_____
10、定義在區間 上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P，過點P作PP1⊥x軸于點P1,直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為_______▲_____
11、已知函數 ,則滿足不等式 的x的范圍是____▲____
12、設實數x,y滿足3≤ ≤8，4≤ ≤9，則 的最大值是_____▲____
13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c， ，則 __▲
14、將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S= ,則S的最小值是_______▲_______
二、解答題
15、（14分）在平面直角坐標系xOy中，點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長
(2)設實數t滿足( )• =0，求t的值
16、（14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900
(1)求證：PC⊥BC
(2)求點A到平面PBC的距離

 
17、（14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m），如示意圖，垂直放置的標桿BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)該小組已經測得一組α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據此算出H的值
(2)該小組分析若干測得的數據后，發現適當調整標桿到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125m，問d為多少時，α-β最大
18.（16分）在平面直角坐標系 中，如圖，已知橢圓 的左右頂點為A,B，右頂點為F，設過點T（ ）的直線TA,TB與橢圓分別交于點M ， ，其中m>0,
①設動點P滿足 ,求點P的軌跡
②設 ，求點T的坐標
③設t=9 ,求證：直線MN必過x軸上的一定點
（其坐標與m無關）

19．（16分）設各項均為正數的數列 的前n項和為 ，已知 ，數列 是公差為d 的等差數列.
①求數列 的通項公式（用 表示）
②設 為實數，對滿足 的任意正整數 ，不等式 都成立。求證： 的最大值為

20.（16分）設 使定義在區間 上的函數，其導函數為 .如果存在實數 和函數 ，其中 對任意的 都有 >0，使得 ，則稱函數 具有性質 .
(1)設函數  ，其中 為實數
①求證：函數 具有性質
②求函數 的單調區間
(2)已知函數 具有性質 ，給定  ， ，且 ，若| |<| |,求 的取值范圍

                                      【理科附加題】
21（從以下四個題中任選兩個作答，每題10分）
(1)幾何證明選講
AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證AB=2BC
 
(2)矩陣與變換
在平面直角坐標系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設k≠0，k∈R，M= ,N= ,點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實數k的值
(3)參數方程與極坐標
在極坐標系中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數a的值
(4)不等式證明選講
已知實數a,b≥0，求證：
22、（10分）某廠生產甲、乙兩種產品，生產甲產品一等品80%，二等品20%；生產乙產品，一等品90%，二等品10%。生產一件甲產品，如果是一等品可獲利4萬元，若是二等品則要虧損1萬元；生產一件乙產品，如果是一等品可獲利6萬元，若是二等品則要虧損2萬元。設生產各種產品相互獨立
（1）記x（單位：萬元）為生產1件甲產品和件乙產品可獲得的總利潤，求x的分布列
（2）求生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率
23、（10分）已知△ABC的三邊長為有理數
（1）求證cosA是有理數
（2）對任意正整數n，求證cosnA也是有理數