和差倍比問(wèn)題是研究不同量之間的和、差、倍數(shù)、比例關(guān)系的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，在數(shù)學(xué)運(yùn)算中比較容易理解。但此類問(wèn)題對(duì)計(jì)算速度和準(zhǔn)確度要求較高，考生在平時(shí)復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意培養(yǎng)自己的速算能力。

　　專家認(rèn)為，按照考查形式，和差倍比問(wèn)題可以分成兩大類：即和差倍的數(shù)量關(guān)系和比例關(guān)系。其中利用比例問(wèn)題的基本公式，還可以幫助解決隱含對(duì)應(yīng)比例關(guān)系的行程、工程問(wèn)題。

　　一、明確和差倍的數(shù)量關(guān)系

　　和差倍問(wèn)題并沒(méi)有統(tǒng)一的背景概念，通常題干敘述一些條件之間的關(guān)系，包括：和倍、差倍、和差關(guān)系三種。

　　1.和倍關(guān)系：已知兩數(shù)之和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。

　　和÷（倍數(shù)＋1）=較小數(shù)

　　【示例1】師、徒兩人共加工105個(gè)零件，師傅加工的個(gè)數(shù)比徒弟的3倍還多5個(gè)，師傅和徒弟各加工零件多少個(gè)？

　　解析：根據(jù)題意，徒弟加工的少，可將徒弟的看成1倍量。

　　畫出示意圖：

　　

　　從圖上可以看出，如果師傅少加工5個(gè)，則兩人加工的總數(shù)少5個(gè)，變?yōu)?00個(gè)，這時(shí)是整數(shù)倍，一共有1+3=4倍。1倍量=100÷4=25，即徒弟加工了25個(gè)。師傅加工了105-25=80個(gè)。

　　2.差倍關(guān)系：已知兩數(shù)之差與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。

　　差÷（倍數(shù)－1）=較小數(shù)

　　【示例2】?jī)蓧K同樣長(zhǎng)的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，則第一塊花布原有多少米？

　　解析：已知兩塊花布同樣長(zhǎng)，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多。將第一塊剩下的看成1倍量，畫出示意圖：

　　

　　所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12米。又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，根據(jù)差倍公式，差÷（倍數(shù)-1）=1倍量，可知第一塊所剩布的長(zhǎng)度為12÷（4-1）=4米，則第一塊布原有4+31=35米。

　　3.和差關(guān)系：已知兩數(shù)之和與差，求這兩個(gè)數(shù)。

　　（和＋差）÷2=較大數(shù)　　　 （和－差）÷2=較小數(shù)

　　【示例3】甲班和乙班共有圖書160本，且甲班的圖書比乙班多20本，甲乙兩班各有多少本圖書？

　　解析：乙班書較少，將乙班的書看成1倍量，則甲班的書減20本等于1倍量，從而有 1+1=2倍量=160-20，所以1倍量為（160-20）÷2=70，即乙班有圖書70本。

　　也可將甲班的書看成1倍量，則乙班的書+20本=1倍量，從而1+1=2倍量=160+20，所以1倍量為（160+20）÷2=90本，即甲班有圖書90本。 二、比例問(wèn)題

　　比例問(wèn)題是指分量與總量的比較，或者是分量之間的比較。因此，解決比例問(wèn)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)各分量、總量以及分量與總量之間的比例關(guān)系，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的公式進(jìn)行求解。

　　基本公式：分量÷總量=所占比例，分量÷所占比例=總量，分量=總量×所占比例

　　解題時(shí)，需注意兩點(diǎn)：

　　（1）題干中，如果有明顯的等量關(guān)系，且算術(shù)方法思路復(fù)雜時(shí)，可用方程法去解。設(shè)未知數(shù)時(shí)，要注意結(jié)合比例關(guān)系，避免分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)。

　　（2）根據(jù)題干數(shù)字特征，尤其是遇到含分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的題，可結(jié)合選項(xiàng)排除。

　　

　　從的方法優(yōu)化來(lái)看，題中給出了兩種書的數(shù)量和比例變化情況，進(jìn)一步分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，拿走４２本文學(xué)書后，科技書的數(shù)量不變、比例發(fā)生了變化，因此，可快速確定拿走42本文學(xué)書前書的總數(shù)。

　　

　　【例題2】已知甲、乙兩人共有２６０本書，其中甲的書有１３％是專業(yè)書，乙的書有１２．５％是專業(yè)書，問(wèn)甲有多少本非專業(yè)書？

　　Ａ．７５　　　Ｂ．８７　　　Ｃ．１７４　　　Ｄ．６７

　　解析：此題的一般思路是設(shè)未知數(shù)建立方程解出甲的非專業(yè)書數(shù)量，但題中除了“甲、乙共有260本書”這個(gè)條件外再無(wú)其他明確的等量關(guān)系，這種方法行不通。

　　從的命題分析來(lái)看，題中13%、12.5%兩個(gè)百分?jǐn)?shù)實(shí)際上是給出相關(guān)數(shù)量的倍數(shù)特征，應(yīng)該以此為切入點(diǎn)去分析和解決問(wèn)題。

　　三、在行程、工程問(wèn)題中的應(yīng)用

　　解決與工程、行程問(wèn)題相結(jié)合的比例問(wèn)題時(shí)，需要利用工程、行程問(wèn)題中的相關(guān)知識(shí)，找出其中隱含的比例與對(duì)應(yīng)量之間的關(guān)系，再利用比例問(wèn)題的公式解題。

　　【例題3】師徒二人加工一批零件，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工100個(gè)零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個(gè)零件？

　　A．200　　　　B．400　　　　C．500　　　　D．600